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第十五届全国大学生数学竞赛初赛（非数学A类，2023）

一、（本题30分，每小题6分）

  1. 求极限：

        \[\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + 9} - 6}{x - \sqrt{3}}\]

  2. 设 f(x, y) 有连续的二阶偏导数，则 \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} =
  3. 设 f(x) = 1 - \frac{2x}{3 + x^2}，求 f''(0) =
  4. 求级数 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n(2n-1)} 的收敛域
  5. 设曲面 x^2 + y^2 + z = 5 被柱面 x^2 + y^2 = 25 所截，求曲面积分：

        \[\iint (x + y + z) \, ds\]

二、（本题14分）
解微分方程：

    \[\frac{dy}{dx} = 2x(2y - x^2 y)\]

三、（本题14分）
设 R 是以 (0, 4, 0) 为顶点且与曲面

    \[\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{3} = 1 \quad (y > 0)\]


相切的锥面，求曲面 \Sigma 与 \Sigma_2 所围空间区域的体积。

四、（本题14分）
设 I_a = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^a}，其中 a > 1，求极限：

    \[\lim_{a \to \infty} I_a\]

五、（本题14分）
设 f(x) 在 [0, 1] 上有连续导数且 f(0) = 0，证明：

    \[\int_0^1 f^2(x) \, dx \leq 4 \int_0^1 (1 - x^2) f'(x)^2 \, dx\]

六、（本题14分）
设数列 {x_n} 满足 x_0 = \frac{1}{3}，递推公式为

    \[x_{n+1} = \frac{x_n^2}{1 - x_n^2} <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]


证明：无穷级数 \sum_{n=0}^{\infty} x_n 收敛，并求其和。

23 1 月, 2025

2回复第十五届全国大学生数学竞赛初赛（非数学A类，2023）"

  1. cqzhty23 1 月, 2025 4:12 上午

        \[\int_0^1 f^2(x) \, dx \leq 4 \int_0^1 (1 - x^2) f'(x)^2 \, dx\]

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